MATEMATIKA Sorozatok Az oldal szövege túl rövid és általános ahhoz, hogy érdemi magyarázó értéket tudjak hozzáadni — nem derül ki belőle, hogy a sorozatok témakörén belül konkrétan miről van szó. Számsorozatok - Alapfogalmak Számtani közép: a 1,a 2,…,an Mértani közép: a 1,a 2,…,an nem negatív számok mértani közepe Továbbá: Pozitív számok esetén A≤G, ahol az egyenlőség akkor és csakkor teljesül, ha a sorozat elemei egyenlők. Ez az oldal két különböző "átlag"-féleséget mutat be egymás mellett, és rögtön megmondja, hogyan viszonyulnak egymáshoz. A számtani közép az, amit hétköznap átlagnak szoktunk hívni: összeadod a számokat, és elosztod annyival, amennyi van belőlük. A mértani közép ettől különbözik: a számokat összeszorzod, majd annyiadik gyököt vonsz belőlük, ahány számod van. Ez utóbbit akkor érdemes használni, amikor nem összeadódó, hanem egymásra ható dolgokat átlagolsz — például növekedési arányokat. A két közép közötti összefüggés a lényeg: pozitív számoknál a számtani közép mindig legalább akkora, mint a mértani közép. Egyenlők csak akkor lesznek, ha az összes szám ugyanakkora. Ez azt jelenti, hogy ha bármelyik szám eltér a többitől, a számtani átlag "felfelé húz", a mértani kevésbé. Erre az összefüggésre a következő oldalakon valószínűleg bizonyítási vagy becslési feladatokban lesz szükség — azt kell majd felismerni, mikor lehet élni azzal, hogy az egyik közép korlátot szab a másiknak. Az elveszés veszélye ott van, hogy a mértani közép képlete első ránézésre bonyolultabbnak tűnik, mint amilyen. Az n-edik gyök ugyanaz, mint az 1/n-edik hatvány — ha így gondolsz rá, számológéppel vagy algebrában is kezelhetőbb lesz. Sorozatok Fontosabb számsorozatok: Számtani a szomszédos tagok különbsége állandó Mértani a szomszédos tagok hányadosa állandó Fibonacci minden tag az előző kettő összege Ez az oldal három olyan sorozattípust mutat be egymás mellett, amelyek a sorozatok egész tananyagának alapkövei — ha ezeket megérted, minden következő fogalom ezekre fog visszautalni. A legfontosabb, amit most megragadj: mindhárom sorozatban van egy szabály, ami megmondja, hogyan jutunk egyik tagból a következőbe. A különbség csak az, hogy mi ez a szabály. A számtani sorozatnál mindig ugyanannyit adunk hozzá — például 2, 5, 8, 11 esetén mindig hármat. A mértani sorozatnál mindig ugyanannyival szorozzuk az előző tagot — például 2, 6, 18, 54 esetén mindig hárommal. A Fibonacci-sorozatnál pedig nem egy fix számot adunk hozzá, hanem az előző két tagot összeadjuk — ezért ahogy nő a sorozat, a tagok egyre gyorsabban növekednek. Ahol el lehet akadni: a "különbség állandó" és a "hányados állandó" kifejezések elsőre elvontnak hangzanak, de mindkettő csak azt jelenti, hogy van egy fix szám, amit következetesen alkalmazunk — az egyiknél összeadással, a másiknál szorzással. Ha ezt a különbséget most bevésed, a következő oldalakon már nem lesz zavar, hogy melyik szabályt kell alkalmazni. Sorozatok Kamatos kamat számítás kamatláb évek száma betett összeg n év alatt felnövekedett összeg Az oldal azt mutatja meg, hogyan nő egy bankba betett pénzösszeg idővel, ha a kamat minden évben nemcsak az eredeti összeg után, hanem az addig felhalmozott kamat után is jár — ezt hívják kamatos kamatnak. Ez egy tipikus példa arra, hogy a matematikai sorozatok hogyan jelennek meg a való életben: minden egyes év végén a számlán lévő összeg egy meghatározott arányban nő az előző évhez képest, és ez az évről évre való szorzás pontosan azt a mintát alkotja, amit sorozatoknál tanulunk. A lényeg az, hogy ha például 100 000 forintot teszel be, és az éves kamatláb 5%, akkor az első év végén 5%-kal több van a számládon, a második év végén az így megnőtt összeg után jár megint 5%, és így tovább — vagyis nem ugyanannyit kapsz minden évben, hanem egyre többet, mert a kamat is kamatozik. Ez az, ami miatt a kamatos kamat sokkal erősebben növeli a pénzt, mint a sima kamat. A következő oldalon valószínűleg pontosan ezt a növekedési folyamatot írják le képlettel, tehát most azt fontos megértened, hogy az évek száma és a kamatláb együtt határozza meg, mekkora lesz a végösszeg — és hogy ez nem összeadással, hanem szorzással, azaz hatványozással számítható ki. Arra érdemes figyelni, hogy a kamatos kamat nem lineárisan növekszik — nem egyforma lépésekkel, hanem egyre nagyobb ugrásokkal. Ezt sokan elsőre nehezen érzik meg, mert az összeadáshoz vagyunk szokva, nem a szorzáshoz. 1. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 0,5 Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 2 pont A feladat lényege az, hogy egy adott sorozatban megtaláljuk az ötödik tagot — ehhez nem kell az összes tagot egyenként kiszámolni, van egy egyszerűbb út. A mértani sorozatban minden tagot úgy kapunk az előzőből, hogy megszorozzuk ugyanazzal a számmal — ezt hívják hányadosnak. Itt ez a szám 0,5, vagyis minden lépésben felezzük az előző tagot. Az első tag 8, tehát: 8, 4, 2, 1, 0,5 — ez maga a sorozat. Az ötödik tag tehát 0,5. Ha nem akarunk egyesével lépkedni, van egy képlet is: az n-edik tagot úgy kapjuk, hogy az első tagot megszorozzuk a hányados (n−1)-edik hatványával. Az ötödik tagnál ez azt jelenti, hogy a hányadost négyszeri önmagával szorozva kapjuk meg a szorzót — de ebben a feladatban az egyesével való végigszámlálás is teljesen járható út, és segít ellenőrizni az eredményt. Arra figyelj, hogy a kitevőbe nem 5 kerül, hanem 4 — mert az első tagnál még egyszer sem szoroztunk, a másodiknál egyszer, és így tovább. 2. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. Mekkora az első 150 tag összege? 5 pont Az előző feladatból már tudod, hogyan kell számtani sorozattal dolgozni — most ugyanazt a tudást kell alkalmazni, de fordítva: nem az első tagból és a differenciából indulsz ki, hanem két középső tagból kell visszafejtened, hogy mik az alap adatok. A kulcslépés az, hogy a két egymást követő tagból (második és harmadik) először a differenciát számítod ki — ez egyszerű kivonás. Ha megvan a differencia, abból visszaszámolhatod az első tagot: a második tagból kivonod egyszer a differenciát, és megkapod, hogy mi volt az első. Ha megvan az első tag és a differencia, már pontosan ugyanolyan helyzetben vagy, mint egy szokásos összegzéses feladatnál: a 150 tagú számtani sorozat összegét a szokásos összeadási képlettel számítod ki, amelyhez az első tag, a differencia és a tagok száma kell. Arra figyelj, hogy ne keverd össze a tagok sorszámát a taggal magával — a „második tag" azt jelenti, hogy egyszer adtál hozzá differenciát az elsőhöz, a „harmadik tag" azt, hogy kétszer. Ez segít abban, hogy pontosan visszafelé is tudj számolni. 3. Iktasson be a 6 és az 1623 közé két számot úgy, hogy azok a megadottakkal együtt egy számtani sorozat szomszédos tagjai legyenek! 5 pont A feladat azt kéri, hogy a 6 és az 1623 közé szúrj be két számot úgy, hogy mind a négy szám — a 6, a két új szám, és az 1623 — egyenletes lépésekkel kövesse egymást, vagyis számtani sorozatot alkosson. A kulcs itt az, hogy ha négy szám alkot egy ilyen sorozatot, akkor köztük mindig háromszor kell megtenni ugyanazt a lépést, azaz háromszor hozzáadni ugyanazt a különbséget. Gondolj bele: az első tagból a másodikba egy lépés, a másodikból a harmadikba egy lépés, a harmadikból a negyedikbe egy lépés — összesen három lépés vezet a 6-tól az 1623-ig. Ebből következik, hogy a teljes különbséget — tehát 1623 mínusz 6 értékét — három egyenlő részre kell osztani, és az lesz a sorozat lépésköze. Ha megvan a lépésköz, a két közbülső számot úgy kapod meg, hogy a 6-hoz egyszer, illetve kétszer hozzáadod ezt az értéket. Ügyelj arra, hogy a feladat nem azt kéri, hogy kettő és ezerhatszázhuszonhárom közé szúrj be két számot akárhogyan — hanem pontosan azt, hogy a négy szám együtt szabályos, egyenletes sorozatot adjon. Ha a lépésköz nem egész szám lenne, az nem baj, de ellenőrizd az eredményt: adjad össze a lépésközt háromszor a 6-hoz, és az utolsó tagnak pontosan 1623-at kell adnia. 4. Egy számtani sorozat első tagja 5, második tagja 8. a) Adja meg a sorozat 80. tagját! 2 pont b) Tagja-e a fenti sorozatnak a 2005? 3 pont c) A sorozat első n tagját összeadva az összeg 1550. Határozza meg az n értékét! 7 pont A feladat egy számtani sorozattal dolgozik, ahol az egymást követő tagok között mindig ugyanakkora a különbség — ez az alapötlet, amit végig kell tartani a három részfeladaton. Az első két tagból (5 és 8) kiderül, hogy a különbség 3. Ez azt jelenti, hogy minden következő tag 3-mal nagyobb az előzőnél. A 80. tag meghatározásához nem kell mind a nyolcvan tagot összeadni egyenként — a számtani sorozatnak van egy gyorsabb képlete, amely közvetlenül megadja bármelyik tag értékét a sorszámából. A második részben azt kell eldönteni, hogy a 2005 beleillik-e ebbe a sorozatba. A kérdés lényege: ha folytatjuk a sorozatot (5, 8, 11, 14, ...), valaha elérjük-e pontosan a 2005-öt, vagy éppen "közé esik" két tagnak? Ehhez azt kell megvizsgálni, hogy a 2005 és az első tag különbsége osztható-e 3-mal. Ha igen, tagja a sorozatnak; ha nem, nem az. A harmadik rész egy összegzési feladat: nem egy konkrét tagot keresünk, hanem azt az n-t, amelynél az első n tag összege pontosan 1550. Ehhez a számtani sorozat összegképletét kell használni, és egy egyenletet felállítani n-re — ez egy másodfokú egyenlet lesz, amelynek megoldásai közül csak a pozitív egész szám fogadható el. Figyelj arra, hogy a c) részben kapott egyenletnek esetleg két megoldása is lesz — ez nem hiba, de csak az egyik lesz értelmes ebben az összefüggésben. Nincs kinyerhető szöveg ezen az oldalon. Nincs kinyerhető szöveg ezen az oldalon. Nincs kinyerhető szöveg ezen az oldalon. Nincs kinyerhető szöveg ezen az oldalon. Nincs kinyerhető szöveg ezen az oldalon.