Kombinatorika

KOMBINATORIKA
Tárgya: véges halmazok elemeinek
- kiválasztása, sorbarendezése
-a különböző esetek számának meghatározása
Műveletek: permutáció, variáció, kombináció
Ismétlés nélküli:	egy elem csak egyszer
Ismétléses: egy elem többször is

Ez az oldal egy új témakört nyit meg: a kombinatorikát. Ez az a terület, amely azt vizsgálja, hányféleképpen lehet valamit kiválasztani vagy sorba rakni – például hányféle sorrendben állhat fel három ember egy sorban, vagy hányféle ötös lottószámot lehet húzni. Nem magát a tartalmat számoljuk ki, hanem az esetek számát.

A három kulcsfogalom – permutáció, variáció, kombináció – mind ugyanarról szól, csak más feltételekkel: számít-e a sorrend, és ugyanazt az elemet vehetjük-e kétszer. Az "ismétlés nélküli" azt jelenti, hogy minden elemet legfeljebb egyszer használhatsz; az "ismétléses" esetben ugyanaz az elem többször is szerepelhet.

A következő oldalakon ezeknek a fogalmaknak a pontos definícióját és kiszámítási módját fogod látni – ezt az oldalt csak azért érdemes megérteni, hogy tudd, a három fogalom között mi a különbség elvben, mielőtt a számolásba belemerülnél.

Permutáció

Az előző oldalakon megismerkedtél azzal, hogyan lehet elemek egy részét sorba rendezni. Most egy különleges esetről lesz szó: mi történik akkor, ha az összes elemet szeretnénk sorba rendezni, nem csak néhányat?

Ez az eset annyival egyszerűbb, hogy külön nevet kapott: permutáció. Lényegében ugyanaz a logika, mint eddig — csak most minden helyre minden megmaradó elem mehet, és a végén nem marad ki senki.

A számítás is egyszerűsödik: ha például 5 elemünk van, és mind az 5-öt sorba kell rakni, akkor az első helyre 5-féleképpen választhatunk, a másodikra már csak 4-féleképpen, és így tovább, egészen 1-ig. Ezt szorozzuk össze: 5 × 4 × 3 × 2 × 1. Ezt a fajta szorzatot hívják faktoriálisnak, és így jelölik: 5!

Fontos, hogy a permutáció mindig az összes elem sorba rendezéséről szól — ha valamelyik kimarad, az már nem permutáció, hanem a korábban tanult variáció.

1. Permutáció
Jellemzője: az összes adott elemmel dolgozik, sorrend számít
a) Ismétlés nélküli permutáció: n különböző elem egy adott sorrendje = az n elem egy ismétlés nélküli permutációja
n elem permutációinak száma: Pn = 1∙2∙ … ∙n = n!
0!=1 definíció szerint
Példák:
1) Írjuk fel az a,b,c elemek permutációit!
abc	bac	cab
acb bca	cba
2) 4 egymás melletti parcellába 4-féle növény hányféleképp vethető?
P 4=4!=24

Az oldal a kombinatorika első nagy témáját mutatja be: mikor és hogyan számoljuk meg, hányféleképpen lehet sorba rendezni dolgokat. Ez az alap, amire a következő oldalak (variáció, kombináció) épülnek — ha ezt érted, a többi könnyebben jön.

A lényeg az, hogy a permutáció mindig azt kérdezi: hányféle sorrendbe rakhatom ezeket az elemeket? Nem válogatunk belőlük, nem hagyunk ki semmit — mindenki bekerül, csak a sorrend változik. Az abc-s példában pontosan ez történik: ugyanaz a három betű, csak minden lehetséges sorrendben felírva.

A faktoriális (n!) azt jelenti, hogy az első helyre n lehetőségünk van, a másodikra már csak n−1, a harmadikra n−2, és így tovább, egészen az utolsó helyig, ahol már csak egy elem maradt. Ezt a csökkenő sorozatot szorozzuk össze. A parcellás feladatban ez 4·3·2·1 = 24.

A 0! = 1 definíció furcsának tűnhet — hogyan rendezünk el nulla elemet egyféleképpen? Ezt ne próbáld megérezni logikusan, inkább fogadd el szabályként: matematikailag szükséges ahhoz, hogy a képletek később következetesek maradjanak.

Ahol el lehet csúszni: sokan összekeverik, hogy mikor kell permutációt alkalmazni és mikor mást. Az egyszerű teszt: ha az összes elemet használod, és a sorrend számít — permutáció. Ha nem mindenkit használsz, vagy a sorrend nem számít, más módszer kell majd.

b) Ismétléses permutáció:
n elem, melyek között k 1, k 2,…,kr azonos, egy sorrendje = az n elem egy ismétléses permutációja
Az ismétléses permutációk száma:
Példák:
1) Soroljuk fel az a,a,b,b,b elemek lehetséges sorrendjeit!
aabbb baabb bbaab abbba
ababb babab bbaba
abbab babba bbbaa
2) Hányféleképp lehet bevetni 4 parcellából kettőt búzával, kettőt árpával?

Az ismétléses permutáció lényege az, hogy ha egy sorba kell rendeznünk elemeket, de néhányuk egyforma, akkor az egyforma elemek felcserélése nem ad új sorrendet — ezért kevesebb különböző lehetőség adódik, mint ha mind különböző lenne. Az első példában öt elemet rendezünk sorba, de az „a" kétszer, a „b" háromszor szerepel, ezért a felsorolásban is pontosan annyi sor jelenik meg, amennyit ez a képlet ad — nem több, nem kevesebb.

A második feladatban fontos felismerni, hogy az a kérdés valójában ugyanolyan szerkezetű: négy parcellát kell sorba képzelni, kettőt búzával, kettőt árpával jelölve — ez pontosan ugyanaz a helyzet, mint az elemek sorba rendezése, ahol két „búza" és két „árpa" az egyforma elemek. A permutáció szó itt nem feltétlenül időbeli sorrendet jelent, hanem azt, hogy melyik helyre melyik elem kerül.

Ügyelj arra, hogy a képletben az osztásban szereplő tagok az egyforma elemek darabszámainak faktoriálisai — mindegyik külön szerepel, és egymással szorozzuk őket. Ha három különböző „típus" van az elemek között, akkor háromféle faktoriális szorzata kerül a nevezőbe, nem az összegük.

Kombináció

Az előző oldalakon a variációkkal foglalkoztunk — ott az számított, hogy melyik elemet választjuk ki és milyen sorrendben. Most egy lépést hátralépünk, és megkérdezzük: mi van akkor, ha a sorrend nem érdekes, csak az, hogy kik kerülnek bele a csoportba?

Ez az a különbség, ami a kombinációt meghatározza. Ha például egy háromfős bizottságot kell választani öt emberből, teljesen mindegy, hogy Annát, Bélát és Cecíliát "ebben a sorrendben" választottuk-e, vagy bármilyen más sorrendben — a bizottság ugyanaz. A kombináció pontosan ezt számolja meg: hányféleképpen lehet kiválasztani egy adott méretű csoportot, ha a sorrend nem számít.

A következő oldalakon valószínűleg megjelenik a kombináció képlete, és az is, hogy hogyan viszonyul a variáció képletéhez — érdemes észben tartani ezt az alapgondolatot, mert a képlet ebből a logikából fog következni.

A leggyakoribb félreértés itt az, hogy valaki nem dönti el tudatosan: a feladatban számít-e a sorrend, vagy sem. Ha számít, variáció kell; ha nem számít, kombináció. Ezt a kérdést minden feladatnál érdemes először feltenni magadnak.

2. Kombináció
Jellemzője: n különböző elemből választunk ki k darabot, sorrend nem számít
a) Ismétlés nélküli kombináció:
n különböző elem közül kiválasztott k(≤n) különböző elem egy adott sorrendje = az n elem egy k-ad osz-tályú ismétlés nélküli kombinációja
A k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációk száma:
Speciálisan k=0, vagy k=n:

Az előző témakörnél még az volt a kérdés, hogy hányféleképpen lehet sorba rendezni elemeket — ott a sorrend számított. Most egy új kérdést vizsgálunk: hányféleképpen lehet kiválasztani elemeket úgy, hogy a sorrend nem számít. Ha például egy csapatból ki kell választani 3 embert, akkor az, hogy Péter, Anna, Béla kerül be, ugyanaz az eredmény, mint hogy Anna, Béla, Péter — a kombináció pont ezt mondja ki.

A képlet lényege az, hogy vesszük az összes lehetséges sorrendezett kiválasztást, és elosztjuk azzal, ahányszor ugyanaz a csoport különböző sorrendekben szerepelt. Így az ismétlések kiesnek, és csak az egyedi csoportok maradnak.

A két különleges eset — amikor nullát vagy éppen az összes elemet választjuk ki — azért fontos, mert elsőre meglepőnek tűnhet, hogy mindkettőre az eredmény 1. Nulla elemet csak egyféleképpen lehet kiválasztani: sehogy, azaz az üres halmaz. Az összes elemet szintén csak egyféleképpen: mindenkit beválasztunk.

Arra figyelj, hogy a kombináció és a permutáció közötti különbség nem a képletben van elsősorban, hanem a kérdésben: sorrendről van szó, vagy csak a kiválasztott csoport összetételéről? Ha ezt a különbséget érzed, a következő számítási feladatoknál nem fogsz eltévedni.

Példák:
1) Soroljuk fel a,b,c,d másodosztályú, ismétlés nélküli kombinációit!
ab	bc	cd
ac	bd
ad
2) Hányféleképp lehet az 5-ös LOTTO szelvényt kitölteni?
És a 6-os LOTTO-t? Melyikkel jobb játszani?

Az előző oldalakon valószínűleg megismerted, mi a kombináció fogalma — most az a cél, hogy meglásd, hogyan néz ez ki a valóságban, és hogy a képlet valóban ugyanannyi lehetőséget ad, amennyit kézzel is meg tudnál számolni.

Az első példában négy elemből — a, b, c, d — kell kétesélyes párokat alkotni, ahol a sorrend nem számít, és ugyanaz az elem nem szerepelhet kétszer egy párban. Az ab és a ba ugyanaz a pár, tehát csak egyszer kell felírni. Ha szisztematikusan végigmész rajta — először az a-val kezdőd, aztán a b-vel, és így tovább —, pontosan hat párt kapsz. Ez nem véletlen: ez az a szám, amit a kombinációképlet is ad.

A lottós példa ugyanezt a gondolatot alkalmazza sokkal nagyobb számokra, ahol már kézzel felsorolni reménytelen lenne — ott a képlet az egyetlen járható út. A két lottóvariáns összehasonlítása azt mutatja meg, hogy ha az összes lehetséges kombináció száma nagyobb, akkor kisebb az esélyed nyerni — tehát nem mindegy, melyiket választod.

Ami most fontos: értsd meg, hogy a hat pár az első példában nem becslés, hanem pontos, teljes lista. A következő lépésekben valószínűleg azt fogod látni, hogy a képlet ugyanezt a hatot adja vissza — és akkor fog összeállni, hogy a képlet nem varázslat, csak gyors módszer arra, amit kézzel is meg lehetne csinálni, csak sokkal lassabban.

Figyelj arra, hogy a kombinációban a sorrend soha nem számít — ez az a pont, ahol sokan összetévesztik a permutációval. Ha valamit "kétféleképpen lehet sorba rakni", az permutáció; ha "ugyanaz a párosítás, csak más sorrendben", az kombinációnál egynek számít.

b) Ismétléses kombináció
n különböző elem közül kiválasztott k(<,=,>n) elem, ahol ugyanaz többször is választható, egy adott sorrendje = az n elem egy k-ad osztályú ismétléses kombinációja
A k-ad osztályú ismétléses kombinációk száma:
Példák:
1) 1,2,3 elemek k=2 osztályú ismétléses kombinációi
11 22 33
12 23
13
2) Jonathan,Golden,Idared fajtákból 5 láda almát választunk ki egy hűtőházból. Hányféleképpen tehetjük ezt meg?

Az előző oldalon valószínűleg olyan kombinációkkal foglalkoztatok, ahol minden elemet csak egyszer lehetett kiválasztani. Ez az oldal azt a helyzetet veszi kezelésbe, amikor ugyanazt az elemet többször is választhatod — ez az ismétléses kombináció.

A lényeg az, hogy itt a sorrend még mindig nem számít, de egy-egy elemet akárhányszor vehetünk. Az almás példában ez azt jelenti: ha háromféle almából kell öt ládával kiválasztani, teljesen rendben van, hogy mind az öt láda ugyanolyan fajta legyen, de az is, hogy kettő-kettő-egy arányban vegyítsd őket. Azt viszont nem különböztetjük meg, hogy melyik ládát vetted fel előbb — csak az számít, összesen hányat vittél az egyes fajtákból.

A képlet — amelyet az oldalon látsz — azt számolja meg, hányféle ilyen elosztás lehetséges. Belülről ugyanolyan szerkesztésű, mint a hagyományos kombinációk képlete, csak az elemszámot módosítja: a tényleges elemszám helyett n+k-1-et ír, mert az ismétlés lehetősége „megnöveli" a teret, amiből választunk.

Arra figyelj, hogy ez a fajta kombináció elsőre meglepő lehet: az, hogy k lehet nagyobb n-nél, azt jelenti, hogy akár többet is választhatsz, mint ahány különböző elem létezik — éppen azért, mert ismétlődhetek. A 3 almafajta, 5 láda példa pontosan ezt az esetet mutatja.

Variáció

Az előző oldalak valószínűleg a kombinációval foglalkoztak, ahol a sorrend nem számított. Most egy új helyzetet vezet be az előadó: mi történik, ha a sorrend igenis számít?

A variáció lényege hétköznapian az, hogy ugyanazokból az elemekből különböző sorrendek különböző eredménynek számítanak. Ha például három ember közül kell kettőt kiválasztani egy verseny első és második helyére, akkor nem mindegy, ki lesz az első és ki a második — ezért az "A első, B második" és a "B első, A második" két külön eset.

A következő oldalakon valószínűleg megjelenik a variáció kiszámításának képlete, és konkrét példák mutatják meg, mikor kell variációval számolni kombinációk helyett. Azt érdemes most magaddal vinni, hogy a variáció és a kombináció között egyetlen döntő kérdés a különbség: számít-e, hogy milyen sorrendben kerültek ki az elemek?

A leggyakoribb tévesztés az, hogy valaki automatikusan kombinációt számol, holott a feladatban van sorrend — például "ki lesz az első, ki a második". Ha a feladatban szerepel valamilyen rangsor, pozíció vagy sorrend, az szinte biztosan variációt jelent.

3. Variáció
Jellemzője: n különböző elemből választunk ki k darabot, sorrend számít
a) Ismétlés nélküli variáció
n különböző elem közül kiválasztott k(≤n) különböző elem egy adott sorrendje = az n elem egy k-ad osztályú ismétlés nélküli variációja
A k-ad osztályú ismétlés nélküli variációk száma:
k = n esetén:

Ez az oldal a kombinatorika egy újabb eszközét vezeti be: a variációt. Az előző témáktól (permutáció, kombináció) abban különbözik, hogy itt egyszerre két dolog is számít — hogy melyik elemeket választod ki, és hogy milyen sorrendben rakod őket.

A lényeg egyszerűen: ha van például 5 versenyző, és azt kérdezzük, hányféleképpen állhat fel az első három helyezett a dobogón, az már variáció — mert nem mindegy, ki áll az első, másodikon és harmadik helyen. Ugyanaz a három ember más-más sorrendben más-más eredményt ad.

Az ismétlés nélküli változat azt jelenti, hogy ugyanazt az elemet nem választhatod ki kétszer — mindenki csak egyszer állhat a dobogón.

A képlet lényege: az első helyre n lehetőség van, a másodikra már csak n−1 (mert az első helyre már valaki került), a harmadikra n−2, és így tovább, egészen k tényezőig. Tehát k darab egymás utáni szorzásról van szó, ahol minden lépésben eggyel csökken a szám.

A k = n eset azt jelenti, hogy az összes elemet felhasználod — ez pontosan a permutáció, amelyet már korábban láttál. A variáció tehát általánosabb fogalom: a permutáció ennek egy speciális esete.

Példák:
1) Írjuk le a,b,c,d másodosztályú, ismétlés nélküli variációit!
ab ba bc cb cd dc
ac ca bd db
ad da
2) Öt malacból 3 ember egy-egy darabot hányféleképp vehet?

Az előző oldalakon valószínűleg megismerted a variáció fogalmát — most azt látod, hogyan néz ez ki a valóságban, konkrét példákon keresztül.

Az első példában az a lényeg, hogy négy elemből (a, b, c, d) kettesével választasz úgy, hogy a sorrend számít, és ugyanaz az elem nem szerepelhet kétszer egymás mellett. Ezért szerepel az „ab" és a „ba" külön-külön: mindkettő más, mert más sorrendben állnak az elemek. Ha a sorrend nem számítana, ez a két eset ugyanaz lenne — de itt számít.

A második feladatnál az a kérdés, hányféleképpen osztható szét 5 különböző malacból 3 ember között egy-egy darab úgy, hogy mindenki mást kap, és az is fontos, hogy ki melyiket kapja. Ez ugyanaz a gondolkodásmód: a sorrend (azaz hogy ki mit kap) befolyásolja, hány különböző eset lehetséges.

Amit most meg kell értened: a variációknál mindig az számít, hogy ugyanazokat az elemeket különböző sorrendben vesszük — és minden különböző sorrend külön esetnek számít. Ha ezt átlátod az első példán, a második feladat már csak ennek alkalmazása egy hétköznapi szituációban.

Ahol el lehet akadni: sokan összekeverik, mikor számít a sorrend és mikor nem. Ha egy feladatban az áll, hogy „ki melyiket kapja" — a sorrend számít, tehát variációról van szó. Ha csak az számítana, „ki kap malacot" és nem az, hogy melyiket — az már más típusú feladat lenne.

b) Ismétléses variáció
n különböző elem közül kiválasztott k(<,=,>n) elem, ahol ugyanaz többször is választható, egy adott sorrendje = az n elem egy k-ad osztályú ismétléses variációja
A k-ad osztályú ismétléses variációk száma:
Példák:
1) Adjuk meg az a,b elemek harmadosztályú ismétléses variációit!
aaa	abb
aab	bab
aba	bba
baa	bbb
2) Hányféleképp tölthető ki a 10 kérdéses, 3-3 válaszos tesztlap?

Az előző oldal olyan variációkkal foglalkozott, ahol minden elemet csak egyszer lehetett felhasználni. Most azt a helyzetet vizsgáljuk, amikor ugyanazt az elemet akár többször is választhatjuk — ez az ismétléses variáció lényege.

A tesztlapos példán keresztül a legjobban megérthető, miről van szó: 10 kérdés van, mindegyikre 3 lehetséges válasz közül kell egyet választani. Minden kérdésnél újra választhatsz bármelyik válaszlehetőséget, tehát semmi nem zárja ki, hogy például az összes kérdésre az „a" választ jelöld be. Ez pontosan az ismétléses variáció: ugyanaz az elem — jelen esetben egy válaszlehetőség — akárhányszor szerepelhet.

A képlet mögötti logika egyszerű szorzás: az első kérdésnél 3 lehetőséged van, a másodiknál szintén 3, a harmadiknál megint 3 — és így tovább mind a 10 kérdésen át. Az összes lehetséges kitöltési mód száma tehát 3-t önmagával 10-szer megszorozva, azaz 3 a tizediken.

A továbbiakban fontos lesz, hogy tisztán lásd a különbséget: ha egy feladatban „visszatevéssel" vagy „ismétléssel" szerepel valami, ez a képlet kell — ha viszont minden elem csak egyszer szerepelhet, akkor a korábbi, ismétlés nélküli variáció formulájára kell visszanyúlni.

Ahol sokan megakadnak: az ismétléses variációnál k lehet nagyobb is, mint n — vagyis több pozíciót is ki lehet tölteni, mint ahány különböző elem van. Ez az ismétlés nélküli variációnál lehetetlen lett volna, mert ott elfogytak volna az elemek.

Binomiális tétel, Pascal háromszög

Az oldal azzal foglalkozik, hogyan lehet gyorsan kiszámolni, mi lesz az eredménye, ha összeadunk két dolgot, és az összegüket valamennyi-edik hatványra emeljük — például (a+b) a negyediken. Ha csak egyszer-kétszer kell ilyet kiszámolni, még megy fejből, de ha mondjuk a nyolcadik hatványt kéred, az már nagyon sok szorzás lenne kézzel.

Az oldal bevezeti, hogy az ilyen kifejezés kifejtésekor az egyes tagok előtt mindig valamilyen együttható áll — egy szám, amivel megszorozzuk az adott tagot. A Pascal-háromszög éppen ezeket az együtthatókat adja meg, sorról sorra. A háromszög minden száma úgy áll elő, hogy a felette lévő két számot összeadjuk — ez az egyetlen szabály, amit meg kell jegyezni. Ha tehát tudod, hogy melyik sorban vagy — és a sor száma megegyezik a hatványkitevővel —, akkor egyből leolvashatod az együtthatókat.

A binomiális tétel ezt az összefüggést fogalmazza meg általánosan: megmondja, hogyan néz ki az (a+b) az n-ediken pontosan, mit kell megszorozni mivel, és melyik együtthatóval. A képletben szereplő binomiális együtthatók — amelyeket „n alatt k"-val jelölnek — pontosan a Pascal-háromszög számait adják vissza, csak egy formulán keresztül.

Amit most érdemes magaddal vinni: a Pascal-háromszög nem varázslat, hanem egy kényelmes eszköz, hogy ne kelljen minden hatványnál mindent kézzel kiszámolni. A következő oldalakon ezeket az együtthatókat valószínűleg számolni is fogod majd a képlettel, és ott fog kelleni, hogy tudd: az „n alatt k" jelölés pontosan azt a számot jelenti, ami a háromszögben a megfelelő helyen áll.

Ahol meg lehet akadni: sokan összekeverik, hogy melyik sor melyik hatványhoz tartozik. A háromszög csúcsán lévő egyes a nulladik hatványhoz tartozik, nem az elsőhöz — tehát az n-edik hatványhoz az n-edik sort kell nézni, de ha nullától számozod a sorokat, akkor minden stimmel.

4. Binomiális tétel
Két tag összegének n. hatványa: (a+b)n
0. sor:	(a+b)0= 1
1. sor:	(a+b)1= 1 a + 1 b
2. sor: (a+b)2= 1 a 2+2 ab+1 b 2
3. sor: (a+b)3= 1 a 3+3 a 2 b+3 ab 2+1 b 3
…..
n. sor: (a+b)n= anb 0+ an-1 b 1+…+ a 0 bn =

Az előző oldalakon valószínűleg arról volt szó, hogyan szorozzuk össze zárójeleket – most azt látjuk, mi történik, ha ezt sokszor egymás után csináljuk, tehát ha egy összeget önmagával szorozunk többször.

A lényeg az, hogy ha kiszámítod például (a+b)³-at, nem kell kézzel elvégezni az összes szorzást: a végeredménynek mindig ugyanolyan szerkezete van. Minden tagban az „a" és a „b" kitevői összeadva pontosan n-et adnak, és minden tag elé egy szám kerül – ezeket az előző oldalon már megismert Pascal-háromszög adja meg.

A 3. sor konkrét példáján: ha n=3, akkor négy tag lesz, az első csak „a"-t tartalmaz (b-ből nulla), az utolsó csak „b"-t (a-ból nulla), a kettő középső tagban mindkettő szerepel, de a kitevőik mindig 3-ra összeadódnak.

Amit most biztosan érteni kell: a tagok száma mindig eggyel több, mint a kitevő, és a kitevők szépen „lefelé-felfelé" futnak – az „a" kitevője csökken, a „b" kitevője nő, lépésről lépésre.

Ahol el lehet akadni: a „b⁰" és az „a⁰" jelölés zavart okozhat, de ezek egyszerűen egyet jelentenek – bármely szám nulladik hatványa 1, tehát ezek a tagok csak eltűnnek a szorzatból, nem nullát adnak.

5. Pascal háromszög
Az (a+b)n kombinációs együtthatóiból felépülő háromszöget Pascal háromszögnek nevezzük
Tulajdonságai:
1.) szimmetria: = minden sorra / n-re
2.) képzési szabály:
= + n+1 sor együtthatói az n.-ből
3.) az n. sor együtthatóinak összege
+ +…+ = 2 n =(1+1)n alapján
Példák:
1) (x-3 y)5 2) (2- )6

Pascal háromszöge az előző oldalon tanult kombinációs együtthatókat rendezi el egy vizuálisan könnyen kezelhető táblázatba — hogy ne kelljen minden egyes binomiális kifejtésnél külön kiszámolni az együtthatókat, hanem egyszerűen le lehessen őket olvasni.

A lényeg az, hogy az együtthatókat sorba írjuk: az első sor az n=0 esete, a második az n=1-é, és így tovább. Minden sort úgy kapunk, hogy a felette lévő sor szomszédos két számát összeadjuk — ez a képzési szabály. Ha tehát ismered az ötödik sort, az összeadással megkapod a hatodikat, anélkül hogy bármit külön kiszámolnál.

A példákban szereplő hatványok kifejtésekor az együtthatókat egyenesen innen vesszük: az ötödik hatványhoz az ötödik sort, a hatodikhoz a hatodikat. A nehézség ott szokott jönni, hogy az együtthatókat sokan összekeverik az előjelekkel — de a Pascal-háromszög csak az együtthatókat adja meg, az előjeleket külön kell figyelni, attól függően, hogy a tagok között összeadás vagy kivonás áll.

Azt érdemes most biztosan megérteni, hogy a sor sorszáma egyenlő a hatványkitevővel, és a sor első száma mindig 1, az utolsó is mindig 1.